Классификация точек разрыва. Примеры разрывных функций
Точка 0 рода
Определение:
$x_{0}$ - точка разрыва 0 рода (устранимый разрыв), если
$$\lim_{x \to x_{0}} f(x) = \lim_{x \to x_{0}+0} f(x) = \lim_{x \to x_{0}-0} f(x) \neq f(x_{0})$$
Пример:
Дельта-функция Дирака: $$ \delta_{a}(x) = \begin{cases} 1, & x=a \\ 0, & x\neq a \end{cases} $$
Точка 1 рода
Определение:
$x_{0}$ - точка разрыва 1 рода, если
$$\lim_{x \to x_{0}+0} f(x) \neq \lim_{x \to x_{0}-0} f(x)$$
Пример:
$$\text{sign}(x) = \begin{cases} 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$
Точка 2 рода
Определение:
$x_{0}$ - точка разрыва 2 рода, если:
$$\nexists{\lim_{x \to x_{0} + 0} f(x)} \lor \nexists{\lim_{x \to x_{0} - 0} f(x)}$$ В том числе, если хотя бы один из односторонних пределов равен $\infty$
Пример:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$ Функция Римана: $$R(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{n}, & x = \dfrac{m}{n} \\ 0, & x \neq \dfrac{m}{n} \end{cases}$$